Multiples de 15 - Corrigé

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , l'entier \(10 \times 11^{2n+1}-5 \times 13^{4n+1}\) est un multiple de \(15\) .

Solution

• D'une part : \(11 \equiv -4 \ [15]\) , donc 
  \(\begin{align*}11^{2n+1}& \equiv (-4)^{2n+1}\\ & \equiv ((-4)^2)^n \times (-4)\\ & \equiv 16^n \times (-4)\\ & \equiv 1^n \times (-4)\\ & \equiv 1 \times (-4)\\ & \equiv -4 \ [15]\end{align*}\)   
  
• D'autre part : \(13 \equiv -2 \ [15]\) , donc 
  \(\begin{align*}13^{4n+1}& \equiv (-2)^{4n+1}\\ & \equiv ((-2)^4)^n \times (-2)\\ & \equiv 16^n \times (-2)\\ & \equiv 1^n \times (-2)\\ & \equiv 1 \times (-2)\\ & \equiv -2 \ [15]\end{align*}\)  

Par conséquent :
\(\begin{align*}10 \times 11^{2n+1}-5 \times 13^{4n+1}& \equiv 10 \times (-4)-5 \times (-2)\\ & \equiv -40+10\\ & \equiv -30\\ & \equiv 0 \ [15]\end{align*}\)  
donc \(10 \times 11^{2n+1}-5 \times 13^{4n+1}\) est un multiple de \(15\) .